Escenarios Multidimensionales (página 2)

Partes: 1, 2

o de las dos variedades una de ellas compacta, es decir
que se puede asignar en cada punto de la variedad no com pacta, por ejemplo el espaciotiempo M4
S1.
Ahora bién, si se considera un campo escalar sobre este
(x ;y) y cuya acción esta
espaciotiempo denotado por
dada por
1
S =
2
adicionalmente, puede decirse que el campo escalar es períodico, es decir (x ;y + 2 R) = (x ;y); lo cual hace
pensar en una descomposición de Fourier
(2)
1
iny
R
n= 1
llevando esto a la acción anterior se encuentra
n
1
n n
4
n= 1
donde mn = R, por lo tanto la acción anterior está describiendo un conjunto in nito de campos cuadridimensionales n(x ) con masa creciente.
Si el campo cinco-dimensional es un campo sin masa el
modo cero 0(x ) puede representarlo. La masa de los restantes modos estará dada por la escala de compacti cación
1
la energía propia de estos modos seria muy grande lo que
supone una di cultad muy grande en la exitación de estos
modos. En este orden de ideas se espera que a energías por
debajo de R; la teoría de altas dimensiones pueda reducirse
a una teoría efectiva que quede bien descrita por unicamente
el modo cero de la expansión.
La propuesta original de KK es que la gravedad 5D,
sobre el espacitiempo M4 S1; contiene la gravedad 4D
y el electromagnétismo. Para entender esto partimos de la
acción de Einstein para la gravedad pura en 5D
Z
p

puede considerarse que el espacioteimpo M4 S1 constituye una solución de la ecuación de campo 5D.
Ahora bién, las componentes de la métrica g (x ;y)
deben de descomponerse en Fourier o modos KK, ya que
actuan como un campo escalar. Para la teoría efectiva a baja
energía, los modos masivos no son relievantes, por lo tanto
es su ciente introducir sólo la dependencia con x : Pero
el hecho importante es identi car que la acción anterior es
invariante bajo una transformación general de coordenadas
5D la cual se puede parametrizar por funciones
(x;y);
pero como estamos considerando una teoria efectiva sólo es
relievanteladependenciaconxyseesperaquelatransformación general de coordenadas 4D quede parametrizada por
(x); lo cual hace que la función 5(x) juegue el rol de los
parámetros de la transformación gauge, con esto se puede
identi carse con con una traslación local en la dimensión
adicional. Por consiguiente, atendiendo a lo anterior, se propone para la teoría efectiva la siguiente métrica
2

3'
g ^ dx dx + e 3'(dy + A dx )2 ,
1 2'
10 n 16 mm , (10)
G4+n 1+n , (7)
p
p
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4
MODELO RANDALL-SUNDRUM
ds2 = e
2
4
(5)
entonces si se lleva a la acción anterior se obtiene, la acción
efectiva dada por
2
Sef = mp
Z
dx4
g
p ^
^[R
4
^ 2
e F
2
3
^
(@')2] , (6)
2
uli. En teorías KK los modulos que parametrizan el tamaño
del espacio extra son conocidos como dilatón.
siones y si tomamos radios r o distancias menores que el
radio de compacti cación R; es decir r < < R; el potencial
Newtoniano entre dos partículas de masa m1 y m2 es
m1m2
VN(r) =
r
donde G4+n es la constante de Newton en 4D, por lo tanto
VN(r) decrece más rápido que la interacción 4D localizada
sobre la brane.
Igualmente, para distancias mayores r >> R; el comportamiento del potencial es
En términos de la masa de Planck en 4+n dimensiones
2
M y de la masa de Planck en 4D mp = 16 1 GN ; se obtiene
la siguiente relación
2
mp VnM2+n (MR)nM2 , (9)
esto muestra que el tamaño del bulk tiene que ser mayor en
1
comparación con la longitud fundamental M , de tal modo
que el mecanismo ADD media entre la jerarquía entre la
gravedad y las interacciones gauge y la jeraquía impuesta
por el tamño del bulk. De otra parte la anterior ecuación sudonde podemos identi car mp = 2 RM3; F = @ A giere una solución al problema de la inestabilidad cuántica
@ A : Junto con el término electromágnetico, tenemos un
modo cero ' relacionado con g55 el cual está parametriz- R no son conocidos, existe la esperanza de que el límite
ando el radio físico del círculo S1:
Si se considera una compacti cación más general de la forma si se escoge M TeV se puede encontrar que el
forma M4 , este parámetro describe la geometría interna valor de R necesario para obtener la masa de Planck de
mp
efectiva 4D como un escalar, genericamente llamado mod 32
R
de tal modo que para n = 1; se obtiene R 1016mm por
lo tanto esto sería de orden astronómico, en el caso n 2 se
3 Modelo ADD obtienene radios de compacti cación sub-milimétricos, en
consecuencia haría que la investigación de la desviación de
Los primeros elementos fenomenológicos del escenario la ley de gravitación de Newton parezca muy complicada.
Brane World fueron presentados por Arkani-Hamed, Dimopoulos, y Dvali, en su modelo conocido como ADD creando
un modelo de brane con dimensiones adicionales grandes. 4 Modelo Randall-Sundrum
Para ilustrar algunas consecuencias de esto no se considera
ningun modelo especí co. En lugar de esto, se asume que El escenario BraneWorld de Randall-Sundrum consiste de
, donde es una variedad un espacio de cinco dimensiones con dos branes inmersas
suave, compacta de n-dimensiones y de radio R, con una en él. Especi camente, se considera la acción de Einsteinbrane cuadridimensional (3-brane) localizada en el bulk. De Hilbert en cinco dimensiones más el término de tensión de
este modo, si consideramos la ley de Gauss en 4+n dimen- la brane
S
=
Z
d4x
Z
dy
p
g 2M3R
+
Z

+
d4x g(b1) [Vb1 + Lb1]
Z
d4x g(b2) [Vb2 + Lb2] , (11)
donde g(b1), g(b2) son las métricas inducidas en cada brane
por la métrica del bulk g (x;y). La tensión de cada una de
las branes es Vb1; Vb2 y Lb1; Lb2 son los lagrangianos de la
materia localizada sobre ellas.
G4+n m1m2 m1m2 La métrica propuesta para el modelo RS es
VN(r) = = GN
Vn r r
ds2 = a2(y) dx dx + dy2 , (12)
n
y donde además se ha identi cado la constante de Newton con a2(y) = e kjyj que constituye un factor conformal
G4+n

3

12M k . (13)
=
p
p
d x
Z Z
2M3 (
g) ,
2M3 (
g)guvRuv +
ul ,
Revista Colombiana de Astronomía Vol. 01, No. 01 de 2010
5
ECUACIÓN DE CAMPO PARA RSI
la constante cosmológica se puede expresar como
3 2

Ahora bién, se integra la ecuación de Einstein en una
vecindad de la brane, se obtienen las condiciones de frontera
de de Israel[6], esto es
K
K
=
(
1
2M3
)S ,
(14)
donde K es la curvatura extrínseca, K K (y0+")
K (y0 ") , con " ! 0 , esto surge de la discontinuidad
cuando se atraviesa la brane, y S es el tensor momemtum energía generado por la brane. Por, lo tanto para que se
satisfagan las condiciones de frontera se debe cumplir

Vb1 = Vb2 = 12M3k , (15)
de este modo, se obtiene una solución si < 0 y ajustamos
los parámetros , Vb1; Vb2 en la acción de acuerdo a
Vb1;2 =
12M3 .
(16)
Debido a la presencia de las branes gravitantes, la dimensión adicional puede considerarse compacta asumiendo
que tienen una topológia de orbifold S1=Z2, similar a la
teoría de Orava-Witten. Puede demostrarse, que la distan 4D, en términos técnicos llamado radión.
Bajo algunas consideraciones puede demostrarse que la
masa de planck está dada por
2
mp =
M3
k
(1
e
2kd
) ,
(17)
A diferencia de la teoría KK y del modelo ADD, el valor
real de la masa de Planck efectiva en 4D mp depende marginalmente de d , lo cual signi ca que el mecánismo RS no
está basado sobre el efecto del volumen del bulk.
5
Ecuación de campo para RSI
de esta forma no describen el producto directo de espacios, a que la coordenada y es períodica y =
+2 ; lo cual con ; con esto se puede escribir
como se puede deducir de la métrica de una esfera unitaria duce a dy = d , con 0
ds2 = d 2 + sen2 d 2: Puede, demostrarse que la métrica la acción como
anterior es una soluen ción de la euación de Einstein, donde
S
=
Z
d4x
Z
d
p
g 2M3R
+
Z

+
d4x g(b1) [Vb1 + Lb1]
Z
d4x g(b2) [Vb2 + Lb2] , (18)
aplicando una variación a la primera integral SB (se re ere
a la acción en 5D), se obtiene
SB =
Z
4
Z
d
p
g 2M3R
,
(19)
lo cual conduce a la siguiente expresión

4 p p
SB = d x d gR) (
(20)
donde el escalar de curvatura se puede expresar como R =
guvRuv; con lo cual se obtiene
SB
=
Z
d4x
Z
d
p
gguvRuv)
Z
d4x
Z
d
p
(
g) , (21)
cia interbrane d es una constante de integración de la solución. Esto corresponde a una región plana del potencial, que tomando la variación en el primer integrando, se encuentra
puede asimilarse a un escalar sin masa en una teoría efectiva
p
(
gguvRuv) =
p
(
p uv
g (g )Ruv +
p
gg
uv
(22)
(Ruv) ,
ahora bién, si se desarrolla cada una de las variaciones, encontramos
p
gguv (Ruv)
l
uv
p
= @l
@v
gguv
p
gg
uv
l
(23)
(guv) =
gupgvs gps ,
(24)
p 1p
( g) =
2
p
acción considerada anteriormente en el modelo RSI. Debido obtiene

4

gguv guvR +
p
gguv
ul ,
(26)
gguvR guv
gRuv guv (27)
p
p
gguv
gguv
ul ,
+@l
@v
Z Z
d 2M3
Z
1 p
Z
1 p
4 3 1p uv
gRuv guv + @l
gguv
p
gguv
@v
ul )]
Z Z
, (28)
Z Z
d 2M3
Z Z
1 1
guv) guv
d x
d
(
)
p
Z Z
g(b1)g(b1)Vb1 g(b1)
d4x
g(b2)g(b2)Vb2 g(b2) , (34)
Z Z
Z Z
d4x
gguv guv , (29)
Z
d4x
d 2M3
g(b1)g(b1)Vb1 g(b1)
g(b2)g(b2)Vb2 g(b2) , (35)
guv) guv ,
(30)
p
Z
d4x
g(b1)g(b1)Vb1 g(b1) ,
(31)
Z Z
d4x
d (2M3
g(b1)g(b1)Vb1
g(b2)g(b2)Vb2
guv , (36)
p
Revista Colombiana de Astronomía Vol. 01, No. 01 de 2010
5
ECUACIÓN DE CAMPO PARA RSI
p 1p
( gR) =
2
g( gupgvs gps)Ruv +
p l
@l uv
p uv l
@v gg
simpli cando esta expresión y aplicando la idea de índices
mudos llegamos a

p 1p p
( gR) =
2
l l
uv
mensiones se puede expresar de forma amplia como

Z Z
SB = d x [d 2M ( gguvR g
2
p p l
uv
l
4 1 p uv
d x d gguv g
2
4 3 1p uv
SB = d x d 2M ( gguvR g
2
p uv
gR guv)
1 p
d
2
simpli cando la expresión anterior resulta
SB
=
Z
d4x
Z
d 2M3
p
g(
1
2
guvR
1
+Ruv
4M3
ahora, efectuando la variación para la acción que describe
las branes tenemos

1
Sb1 =
2
Sb2 =
1
2
Z
d4x
g(b2)g(b2)Vb2 g(b2) ,
(32)
entonces la variación de la acción completa queda de la
siguiente forma

4 p 1
S = d x g( guvR + Ruv
2
1
guv) guv
4M3
d4x g(b1)g(b1)Vb1 g(b1)
2
d4x g(b2)g(b2)Vb2 g(b2) , (33)
2
expresando las variaciones para las branes en cinco dimensiones con ayuda de la función delta y tomando en consid entonces la variación completa para la acción en cinco di- eración su localización en el orbifold, obtenemos
S
=
4 p 1
2
4
1
2
d ( )
d x g( guvR + Ruv

4M3 2

p
aplicando el teorema de Gauss y como las variaciones del simpli cando la expresión anterior, resulta
campo son nulas en los límites de integración se obtiene
S
=
Z
p 1
2
g( guvR + Ruv
1
guv) guv
4M3
1 p
( )
2
1 p
( )
2
ahora, se puede expresar cada g(bi) de la siguiente forma
g(bi) = u v guv; con lo que se obtiene
S
=
p 1
2
g( guvR
1
+Ruv guv)
4M3
1 p
( ) u v
2
1 p
( ) u v)
2
y como la variación debe ser igual a S = 0 , entonces el
integrando debe ser igual a cero
5

g(b1)g(b1)Vb1 u v
g(b2)g(b2)Vb2 u v = 0 , (37)
p
(38)
u v ( )) .
g(b2)g
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2 4M3
2M3
1
(
2
1
2
p 1 1
g( guvR + Ruv guv)
p
)
p
( )
p
g(Ruv
1
2
guvR) =
p
1
(
4M3
+Vb1
p
+Vb2
gguv

(b2)
Puede observarse el carácter singular de las dos branes,
igualmente la intervención directa de las tensiones o energía
de vacio de cada una de las branes. Importante resaltar que
este modelo es el que permite resolver el problema de jararquías y además el que permite realizar las aproximaciones
cuánticas, como la estabilización del radión[9].
6
Conclusiones
Finalmente podemos concluir con los siguientes elementos,
entre otros muchos más que pueden ser deducidos del modelo teórico:
1. Los escenarios multidimensionales permiten explorar
nuevas fenomenologías físicas ya que permite aumentar los
grados de libertad de una teoría lo cuál se traduce un los
nuevos términos incorporados en los modelos que mediante
ajustes e interpretaciones adecuadas permiten explicaciones
alternas.
2. El escenario ADD, es muy importante ya que permite
de forma análitica resolver el problema de jeraquias, pero se
di culta enormemente su veri cación experimental.
3. El escenario RS, hace consideraciones diferentes,
soluciona el problema de jerarquías y su posible veri cación experimental esta en el orden de los TeV, permite
igualmentereinterpretarlamasadePlanck, lasinteracciones
gauge, o el graviton.
REFERENCES

4. Se recobra, en los escenarios multidimensionales, la
teoría clásica de KK, quizá en un escenario multidimensional general la teoría quede totalmente incorporada, y sus
elementos aporten en la construcción de un esquema mucho
más general y veri cable.
5. Puede proponerse una generalización del modelo RS,
es decir podemos considerar un mayor número de branes,
incorporar en cada brane dimensiones compactas, back nalmente se obtiene la ecuación de campo en el escen- graund más general que el AdS5; todo ello con el n de
ario Randall-Sundrum explorar nuevas consecuencias, formas alternas de veri c ación experimental, y talvez un mayor entendimiento de la
estructura y leyes del universo.

g(b1)g(b1) u v ( )References
[1] T. Kaluza, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin
Math. Phys. Kl. 33 (1921) 966.
[2] O. Klein, Z. Phys. 37 (1926) 895; O. Klein, Nature
(London) 118 (1926) 516.
[3] B. S. De Witt in Relativity, Groups and Topology, eds
C. and B. S. De Witt (Gordan and Breach, New York,
1964).
[4] R. Kerner, Ann. Inst. Poincare, Sec. A9 (1968) 29.
[5] E. Witten, Fermion Quantum Numbers In Kaluza Klein, The Proc. of Second Shelter Island Meeting
(1983) 227.
[6] J. Polchinski, “String Theory. Vol 1: An Introducction
To the Bosonic String, ” Cambridge, UK: Pr. (1998)
402 p. “String Theory. Vol: Superstring Theory And
Beyond,” Cambridge, UK: Unive. Pr. (1998) 531 p.
[7] Randall, L., andSundrum, R., “AnAlternativetoCom pacti cation”, Phys. Rev. Lett., 83, 4690-4693, (1999)
[8] Randall, L., and Sundrum, R., “ Large Mass Hierarchy
from a Small Extra Dimension”, Phys. Rev. Lett., 83,
3370-3373, (1999).
[9] J. Garrga, O. Pujolas and T. Tanaka, “Radion effective
potential in the braneworld,” Nucl. Phys. B 605, 192
(2001) [arXiv:hep-th/0004109]
6